Introducción al Álgebra

Introducción al Álgebra

Tema 1

 Las proposiciones 

En si las proposiciones son oraciones literarias o matemáticas en la cual tiene sentido establecer un valor de verdad o falsedad. Es decir ,una proposición puede ser verdadera o falsa y no ambas a la vez. Y por lo tanto una oración que no tenga sentido o carezca de valor no será considerada proposición. Según esta definición entonces podemos decir que las proposiciones con expresiones lógicas.

Oraciones que NO son consideradas Proposiciones

Las siguientes Oraciones nunca serán consideradas proposiciones:

• a) Oraciones Interrogativas (¿?)

Este tipo de Oraciones llamadas "Interrogativas" son oraciones que indican alguna pregunta dentro del lenguaje literario y por este motivo estas oraciones carecen de un valor de verdad es decir no pueden ser ni verdaderas ni falsas. Al no ser consideradas ni falsas ni verdaderas no pueden ser proposiciones.
Ejemplos:
1.- Como te llamas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
2.- A donde Vas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
3.- Quien eres? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
4.- Que te gusta tomar? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
5.- Cuantos años tienes? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
Por lo tanto llegamos a la conclusión de que cualquier oración interrogativa no puede ser considerada una proposición

• b) Oraciones de Admiración (¡!)

Estas oraciones de "Admiración" tampoco son consideradas proposiciones ya que este tipo de oración indica algo admirable y por ende no tiene sentido afirmar si dicha oración es verdadera o falsa. Al tener esta características no podrán ser consideradas proposiciones
Ejemplos:
1.- ¡Viva Venezuela! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
2.- ¡Viva el Beisbol! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
3.- ¡Que Linda mi tierra! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso
4.- ¡que calor hace! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso

c) Oraciones de Deseo

Estas oraciones de "Deseo" también no son consideradas proposiciones ya que cuando uno expresa un deseo este deseo puede ser falso y verdadero al mismo tiempo. Al tener esta característica no pueden ser consideradas proposiciones

Ejemplos:

1.- Deseo helados

2.- Quiero ir a la plaza

3.- Quiero que gane oriente petrolero

4.- Quiero darte un beso

d) Oraciones de Orden

Es otro tipo de oraciones las cuales entran en el grupo de las no pertenecientes a las proposiciones ya que una oración literal de orden no tendrá sentido afirmar si es verdadera o falsa por el mismo hecho de que se trata de una oración de orden al tener esta característica no será considerada Proposición.

Ejemplos:

1.- Tráeme una silla

2.- Búscame un lápiz

3.- Traigan todos los documentos

4.- Acomoden en aula

Clasificación de las Proposiciones

Las Proposiciones de Clasifican en los siguientes tipos de oraciones:

• a) Proposiciones Simples o Atómicas

Son oraciones llamadas DECLARATIVAS por que declaran algo como su propio nombre dice y también son llamadas simples por que carecen de conectivos lógicos. Es decir, Son oraciones formadas por una sola oración de ahí el nombre SIMPLE

Ejemplos:

1. )María fue al cine

2.) Esta lloviendo

3.) La tierra es plana

4. ) 5*5= 25

• b)  Proposiciones Compuestas  o Moleculares
• 
  
• Son oraciones llamadas Compuestas por que al contrario de las simples, este tipo de oraciones tienen la presencia de conectivos lógicos y están formadas por más de una oración, es decir, pueden estar formadas por infinitas oraciones.Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos lógicos.
  
  

Ejemplo: 

María fue al cine y  VIO  LA  PELÍCULA EL GATO CON BOTAS

 NOTACIÓN O SIMBOLIZACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN

Las proposiciones se simbolizarán con letras minúsculas del alfabeto a partir de la p

p, q, r, s, t,..,z ejemplo:

p: Algebra es una materia importante

q: 5*5=25

Valor Veritativo o Lógico de una proposición  VL(p) 

 

El Valor Veritativo o Lógico de una proposición, consiste en decidir o determinar si una proposición es Verdadera o falsa según los conocimientos que tenemos previamente de ese enunciado. Si las proposiciones son compuestas debemos determinar el valor lógico de cada una de las proposiciones por separado y luego, según la tabla de verdad de los conectivos que se estén usando se determinará el resultado final de la proposición completa (ese punto se verá en tabla de verdad de los conectivos lógicos).

Se abrevia:  VL(p)= verdadero o Falso (según sea la proposición cierta o no)

Ejemplo:

q: Magallanes llegó a la final de béisbol

VL(q)= verdadero

Lenguaje natural Y  Lenguaje  simbólico

Lenguaje natural: el que nosotros como humanos  entendemos  

Lenguaje simbólico: Es una representación del lenguaje natural que será usado para simbolizar a las proposiciones

                                                                                                  

 Veamos un ejemplo sencillo:

o     Lenguaje natural: "el número 5 es un numero par y 8 > 5 "

o     Se traduciría en lenguaje simbólico en "p y q", en donde:

p = el número 5 es un numero par; el valor lógico se simboliza  VL(p) en el caso de  esta proposición es: VL(p)= falso

q = 8 > 5 en este caso: VL(q)= Verdadero

Tema 2

CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD.

Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong:

 "llamamos proposiciones  moleculares a aquellas proposiciones compuestas, es decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más proposiciones" 

Y la unión de las proposiciones compuestas se efectúa mediante los conectivos lógicos. 

La característica fundamental de toda proposición molecular es que su verdad depende de la verdad de las proposiciones que la conforman.

Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las proposiciones simples están determinadas por condiciones de tiempo y espacio.

Por ejemplo, si la proposición es "llueve y no tengo paraguas", al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y ¿cuándo?

La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso. Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas (Tablas de verdad) que rigen a cada conector lógico.

Tipos de Conectivos Lógicos en una Proposición

Existe una infinidad de Conectivos Lógicos dentro de la lógica simbólica sin embargo para fines de la materia se estudiaran 6 tipos de conectivos lógicos los cuales veremos a continuación. Por ende un conectivo lógico es una herramienta simbólica que permite unir más de una oración por lo tanto se utilizaran en las oraciones declarativas consideradas Compuestas. A excepción de la negación que puede usarse una proposición atómica o simple.

A continuación se presenta la tabla resumen de los conectivos lógicos que estaremos estudiando

CONECTIVO	OPERACIÓN	SIMBOLOGIA	ASI SE LEE
̃	Negación	̃P	No p o no es cierto que p
^	Conjunción	P^q	P y q
v	Disyunción inclusiva	p v q	P o q
v	Disyunción Exclusiva	pvq	O p  o q
→	Condicional	P → q	Si p entonces q
↔	Bicondicional	P ↔ q	P si y solo si q

   A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente, es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos)

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Tema 3 LA NEGACIÓN

Tema 3

LA NEGACIÓN

La negación es una operación unitaria y se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo puede ser traducido en palabras, así: no es cierto que más brevemente, "no", y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad

p

~p

V	F
F	V

Se establece el siguiente principio para la negación lógica:

La negación de un enunciado verdadero es falsa;

La negación de un enunciado falso es verdadera.

Lo que equivale a decir que la negación de la negación de una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.

Ejemplo sea p la siguiente proposición:

       Lenguaje natural                                                   Lenguaje Simbólico

 6 es un número impar                                                p : 6 es un número impar 

                                                                                    VL(p)=Verdadero

6 no es un número impar                                           ~p :  6 no es un número impar 

                                                                                   VL(~p)=  Falso

No es cierto que No es 6 es un número impar            ~ ~p: 6 es un número impar 

                                                                                  VL(~~p)=  Verdadero

 
Ejercicios

 Encuentre la negación de las expresiones siguientes:

i)                    Júpiter es un planeta

Respuesta:

      Sea p= Júpiter es un planeta;  

~p= Júpiter no es un planeta;  Otra forma: no es cierto que Júpiter es un planeta; VL(p)= verdadero; VL(~p)= Falso

Resolver el equipo expositor según el ejemplo dado los siguientes ejercicios

i)La familia crea valores

ii) El computador es una herramienta de aprendizaje
iii) El número 6 es negativo

iv) Los peces no respiran fuera del agua
v) 6 + 6 * 6 = 42

Tema 4 La conjunción (^)

                                            Tema 4

La conjunción (^)

La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la multiplicación lógica. La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria(porque involucra a 2 proposiciones) que tiene por resultado p y q

La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica conjunción es la siguiente:

o        Una conjunción de proposiciones en las cuales todas son verdaderas, es verdadera

o        Una conjunción de proposiciones en donde no todas son verdaderos es falsa.

o        Lo que equivale a decir que basta que una de sus componentes sea falso para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso de que ambos componentes lo sean.

Lo expresado anteriormente se resume simbólicamente de la siguiente manera:

Ejemplo:

Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"

Sean:

p: el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque

q : tiene corriente la batería

VL(p)= verdadero

VL(q) = tiene corriente la batería; puede ser Verdadero o falso

Caso 1: VL(q) = verdadero                           Caso 2: VL(q) = Falso

VL(p ^ q)=  VL(p)  ^     VL(q)                     VL(p ^ q)= VL(p) ^ VL(q)

               Verdadero ^   Verdadero                                       V ^   Falso

                           Verdadero                                                   Falso

            

La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:

p ^ q, donde

p: Los leones son animales salvajes

q: El hombre es una animal racional

se lee: Los leones son animales salvajes y el hombre es una animal racional

En este caso el valor lógico de la expresión: VL(p ^ q) = verdadera

Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.

Ejercicios

Halle el Valor Lógico de las siguientes proposiciones:  p^q

Sean p y q las siguientes proposiciones Halle el  valor lógico de p^q en cada caso

1.      p: Los colores de la bandera de Venezuela son: amarillo, azul y  rojo;  q: 3 es un numero par.

2.      p:  5   <= 10 ;   q:  5*5 = 25

3.      p: La Internet es un conjunto de computadoras interconectadas;   q: 6 >= 10

4.      p: 4 es un numero impar; q: Simón Bolívar nació en Caracas.

Aqui les dejo un video en youtobe que es un repaso a lo que hemos visto hasta ahora, revisenlo dando clic en el enlacehttp://www.youtube.com/watch?v=-__WsCq-peM